Lý thuyết điều khiển toán học là một trong những lĩnh vực toán học ứng dụng quan trọng mới được phát triển kho ảng 50 năm trở l ại đây. Công cụ chính của lý thuyết điều khiển toán học là những mô hình và các phương pháp toán học giải quyết những vấn đề định tính và giải số các hệ thống điều khiển. Rất nhiều bài toán trong khoa học, công nghệ, kỹ thuật và kinh tế được mô tả bởi các hệ phương trình vi phân chứa tham s ố đi ều khiển và cần đến những công cụ toán học để tìm ra lời giải. Một trong những vấn đề đầu tiên và quan trọng nhất trong lý thuyết điều khiển hệ thống là lý thuyết điều khiển được, tức là tìm một chiến lược điều khiển sao cho có thể chuyển hệ thống từ một trạng thái này sang một trạng thái khác. Bài toán điều khiển được liên quan chặt chẽ đến các bài toán khác như bài toán tồn tại điều khiển tối ưu, bài toán ổn định và ổn định hóa, bài toán quan sát được, Mặc dù lý thuyết điều khiển đã được hình thành cách đây khoảng 50 năm, nhưng nhiều bài toán và vấn đề về điều khiển như: điều khiển được hệ phương trình vi phân ẩn tuyến tính dừng và không dừng c ó hạn chế trên bi ến đi ều khiển, điều khiển được hệ phương trình vi phân và sai phân ẩn tuyến tính có chậm, những bài toán liên quan giữa điều khiển được, quan sát được và ổn định hoá , , hiện nay vẫn còn mang tính thời sự và được rất nhiều nhà toán học tr ên thế gi ới cũng như trong nước quan tâm. Phương trình vi phân thường đã được nghiên cứu từ rất lâu, khoảng 200 năm trở lại đây. Tuy nhiên lý thuyết phương trình vi phân ẩn , trong đó có phương trình vi phân đại số tuyến tính lại mới được th ật sự quan tâm trong vòng 40 năm trở lại đây. Phương trình vi phân đại số tuy ến tính có rất nhiều điểm đặc biệt mà ta không thể tìm thấy ở phương trình vi phân thường, ví dụ: ma trận hệ số là ma trận suy biến, không có tính chất “ nhân quả” giữa đầu vào và đầu ra, , làm cho việc nghiên cứu những vấn đề liên quan trở nên phức tạp nhưng lại rất hấp dẫn. Hiện nay, mặc dù đã có nhi ều cố gắng khảo sát những tính chất đặc biệt ấy, nhưng việc nghiên cứu hệ phương trình vi phân suy biến vẫn còn l à th ời sự, b ởi còn rất nhi ều câu hỏi chưa được gi ải đáp. Mục đích của luận văn này là trình bày các kết quả mở rộng tiêu chuẩn điều khiển được của các hệ đi ều khiển mô tả bởi phương trình vi phân thường – tiêu chuẩn Kalman – cho hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính dừng và không dừng. Luận văn cố gắng trình bày một cách có hệ thống từ đơn giản đến phức tạp, từ phương trình vi phân đại số tuyến tính dừng đến phương trình vi phân đại số tuyến tính không dừng. Tiêu chuẩn điều khiển được dạng Kalman được đặc trưng thông qua tiêu chuẩn về hạng của ma trận hệ số. Thống nhất đi theo hướng nghiên cứu đó, trước ti ên luận văn trình bày ti êu chuẩn điều khiển được mở rộng cho hệ phương trình vi phân đại số thông qua ma trận hệ số của các hệ phương trình vi phân ẩn tuyến tính dừng và sau đó l à cho hệ mô tả bởi hệ phương trình vi phân ẩn tuy ến tính không dừng. Các ti êu chuẩn điều khi ển được này nói chung phức tạp hơn rất nhiều so với tiêu chuẩn Kalman.