Một trong những bài toán trung tâm của lý thuyết số là tìm nghiệm và xét tính chất nghiệm hữu tỉ của phương trình. Nghiệm của một phương trình trên các nhóm Abel hữu hạn (đặc biệt là trên các trường hữu hạn) có quan hệ mật thiết với nghiệm hữu tỉ cũng như nghiệm phức của phương trình đó. Phương trình trên nhóm Abel hữu hạn là một đối tượng đã được các nhà toán học nghiên cứu từ lâu và đến nay vẫn còn được quan tâm rộng rãi. Một trong các khía cạnh nghiên cứu của vấn đề này là bài toán xác định số nghiệm của phương trình trên nhóm Abel hữu hạn. Luận văn Phương trình trên nhóm Abel hữu hạn nhằm tìm hiểu về nghiệm của phương trình trên nhóm Abel hữu hạn và nghiệm của các phương trình đồng dư trên vành các số nguyên. Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn được chia thành ba chương, trong đó nội dung chính của luận văn được trình bày ở Chương 2 và Chương 3. Trong phần đầu của Chương 1 chúng tôi trình bày khái niệm các đặc trưng của nhóm hữu hạn và các khái niệm cần thiết cho các phần sau. Tiếp theo chúng tôi trình bày chi tiết về nhóm các đặc trưng và hệ thức trực giao của các đặc trưng. Ngoài ra, chúng tôi còn trình bày một số đặc trưng cụ thể trên trường hữu hạn Fq cũng như ý nghĩa của nó qua tổng Gauss trên trường hữu hạn (các Mệnh đề 1.4.9, 1.4.11). Trong Chương 2 chúng tôi trình bày về phép biến đổi Fourier trên nhóm Abel hữu hạn và một số ứng dụng. Chúng tôi bắt đầu từ việc xây dựng các định nghĩa, ví dụ cũng như những tính chất cơ bản của phép biến đổi Fourier trên nhóm Abel hữu hạn (Đẳng thức Parseval, các Mệnh đề 2.1.10, 2.1.12). Sau đó chúng tôi đã sử dụng các tính chất của biến đổi Fourier để chứng 2 minh Luật thuận nghịch bậc hai và giải bài toán tìm số nghiệm của phương trình trên nhóm Abel hữu hạn. Phần cuối của chương là chứng minh Định lý Fermat trên trường hữu hạn. Trong Chương 3 chúng tôi trình bày về tổng Jacobi và ứng dụng của nó. Phần đầu chúng tôi giới thiệu khái niệm và các tính chất cơ sở của tổng Jacobi. Từ đó chúng tôi làm rõ được với mỗi số nguyên tố p có dạng p 4f 1 đều là tổng của bình phương của hai số nguyên. Phần sau chúng tôi sử dụng tổng Jacobi để tìm số nghiệm của phương α1 x k1 1 αn x kn n α trên trường Fp . Đồng thời giải một số bài toán về số nghiệm của phương trình đồng dư dạng A1 x m1 1 A2 x m2 2 A pmod pq trên vành các số nguyên. Ngoài ra, chúng tôi còn sử dụng phần mềm Maple để kiểm tra lại các kết quả tính toán từ các ví dụ minh họa. Cuối cùng, cho phép tôi được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy TS. Nguyễn An Khương, người đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi thực hiện luận văn này. Nhân đây, tôi xin chân thành cảm ơn đến Ban Giám Hiệu, Phòng Sau Đại học, Khoa Toán Trường Đại học Quy Nhơn; Trường THPT Phan Đình Phùng -ĐăkLăk đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành khóa học. Tôi xin trân trọng cảm ơn quý thầy cô Khoa Toán đã giảng dạy và giúp đỡ tôi trong quá trình học tập, nghiên cứu khoa học cũng như thực hiện đề tài. Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp đã cùng chia sẻ, động viên và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn. Mặc dù bản thân đã rất cố gắng và được sự hướng dẫn nhiệt tình của thầy giáo hướng dẫn, nhưng do năng lực của bản thân và thời gian còn hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót. Chúng tôi rất mong nhận được sự góp ý của quý thầy cô và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn.