Bổ đề Farkas đóng một vai trò cơ bản trong lí thuyết tối ưu tuyến tính cũng như tối ưu
phi tuyến. Trong những thập niên vừa qua, Bổ đề Farkas đã được mở rộng và phát triển
ra cho các hệ tuyến tính (vô hạn chiều), các hệ phi tuyến cũng như các hệ đa trị, dưới các
dạng khác nhau. Cùng với các mở rộng này là áp dụng của nó vào lí thuyết quy hoạch
lồi nửa vô hạn, quy hoach lồi tổng quát, các bài toán quy hoạch lồi nửa các định (convex
semi-definite programs (SDP)), các bài toán tối ưu đa mục tiêu.
Kết quả nghiên cứu của đề tài đã được viết thành 3 bài báo trong đó có 2 bài đăng
trong Tạp chí Khoa học của Trường Đại học Sư phạm Tp. Hồ Chí Minh và 1 bài sẽ gửi
đăng trên một tạp chí toán quốc tế. Các kết quả này sẽ được trình bày trong 3 chương sau
đây và toàn văn 3 bài báo sẽ được đính kèm ở phần sau trong tập báo cáo nghiệm thu này.
Chương 1 trình bày tổng quan sự phát triển của các dạng mở rộng của Bổ đề Farkas
trong các thập niên gần đây, bao gồm các dạng trong không gian hữu hạn chiều và không
gian vô hạn chiều; cả các dạng tiệm cận và không tiệm cận mới được thiết lập trong những
năm cuối của thế kỉ 20 và những năm đầu của thế kỉ 21, cùng với những áp dụng đa dạng
của các dạng mở rộng này trong lý thuyết tối ưu. Chương 2 là các kết quả mới của đề tài,
mở rộng Bổ đề Farkas cho các hệ có chứa các bất đẳng thức lồi và các bất đẳng thức DC.
Chương 3, trình bày các áp dụng của các dạng mở rộng của Bổ đề Farkas vào các bài toán
quy hoạch DC với ràng buộc lồi theo nón và ràng buộc tập