Lý thuyết về các tập lồi và hàm lồi có một vị trí quan trọng trong toán học, nó liên quan đến hầu hết các ngành của toán học như giải tích hàm, hình học, toán kinh tế, giải tích lồi, tối ưu phi tuyến. . . Một cách tổng quát, có hai tính chất cơ bản của các hàm lồi làm cho chúng được sử dụng rộng rãi trong toán học lý thuyết và toán ứng dụng, đó là: tính chất đạt giá trị lớn nhất trên biên và bất kỳ cực tiểu địa phương nào cũng là cực tiểu trên tập xác định. Hơn nữa, một hàm lồi thực sự thì điểm cực tiểu nếu có là duy nhất. Có sự tác động qua lại giữa giải tích và hình học trong việc nghiên cứu các hàm lồi. Hiện nay, người ta còn nghiên cứu một số lớp hàm liên quan như hàm loga-lồi, hàm lồi nhân tính, hàm siêu điều hòa và các hàm lồi theo nghĩa nhóm con của nhóm tuyến tính. Có thể nói, nghiên cứu về tập lồi và các hàm lồi là một đề tài thú vị, nhận được sự quan tâm của nhiều nhà toán học. Các vấn đề liên quan đến hàm lồi không ngừng nảy sinh và có nhiều kết quả đẹp, nhiều kết quả của hàm lồi được ứng dụng trong toán học và trong thực tế. Khóa luận hướng đến việc trình bày một số vấn đề lý thuyết liên quan đến hàm lồi, khảo sát các ứng dụng của hàm lồi trong việc tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất, tìm hiểu một số kết quả mới về một số hàm lồi đặc biệt như hàm gamma, hàm zeta Riemann và tích phân elliptic, từ đó làm rõ thêm về đề tài thú vị này.