Tôpô là một ngành toán học nghiên cứu những bất biến qua nhóm các phép biến đổi liên tục. Một trong những đối tượng nghiên cứu của tôpô học là đa tạp tôpô. Đây là sự khái quá hoá nhiều chiều từ khái niệm đường và mặt trong không gian Euclide 3-chiều. Việc nghiên cứu đa tạp đã được công nhận là có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau như: Hình học, Giải tích phức, Đại số, Hình học đại số, Cơ học cổ điển, Thuy ết tương đối, Thuy ết lượng tử, Việc phân lớp các đa tạp được xem là một trong những vấn đề quan trọng nhất của ngành tôpô. Đối với trường hợp đa tạp 2-chiều vấn đề đã được giải quy ết với “định lí phân loại đa tạp compact 2-chiều” được phát biểu và chứng minh đầu tiên bởi H.R.Barahana vào năm 1922. Trường hợp đa tạp 2-chiều không compact cũng đã được phân loại. Đối với đa tạp có số chiều cao hơn th ì tình hình rất khó khăn. Trong nổ lực phân loại đa tạp 3-chiều, Poincaré, nhà toán học vĩ đại người Pháp, đã phát biểu rằng: Một đa tạp compact 3-chiều mà nhóm cơ bản của nó là nhóm tầm thường th ì đồng phôi với mặt cầu. Tuy nhiên ông không chứng minh được điều đó và nó được các nhà toán học trên thế giới quan tâm với tên gọi “giả thuy ết Poincaré”. Suốt một thời gian dài kể từ khi giả thuyết Poincaré ra đời (1904) mọi nổ lực chứng minh vẫn không có kết quả đáng kể. Trong khi đó, những giả thuy ết tương tự với số chiều cao hơn lần lượt được giải quyết bởi Stephen Smale (trường hợp n > 4, năm 1961) và Michael Freedman (trường hợp n = 4, năm 1982). Năm 1958, A.A.Markov đã chứng minh được không tồn tại thuật toán nào để phân loại các đa tạp có số chiều lớn hơn 3. Đây là một bất ngờ thú vị của toán học, chúng ta đã giải quyết vấn đề một cách triệt để trong trường hợp tổng quát (n  4), nhưng lại không giải quyết được trong trường hợp cụ thể (n = 3) gần với cuộc sống của chúng ta nhất. Năm 2000, Viện Toán học Clay (Mỹ) đã đưa giả thuyết Poincaré vào danh sách 7 bài toán mở quan trọng nhất cần giải quyết vì tầm quan trọng của nó trong toán học và vũ trụ. Vào những năm 1970, William Thurston đã đề xuất một giả thuyết khác, giả thuy ết hình học hóa: Mọi đa tạp compact 3-chiều đều có thể cắt ra làm các phần mà mỗi phần thuộc một và chỉ một trong 8 dạng. Đây là sự tổng quát tuyệt vời từ giả thuyết Poincaré, nếu giải quyết được nó (tất nhiên sẽ kéo theo giải quyết được giả thuyết Poincaré) thì vấn đề phân loại về cơ bản là hoàn tất. Năm 2003, Grigory Perelman, nhà toán học người Nga, đã xuất sắc hoàn thành chứng minh giả thuyết hình học hóa và giả thuyết Poincaré nhờ sử dụng phương trình dòng Ricci. Chứng minh của ông đã được các nhà toán học trên thế giới kiểm chứng và công nhận bằng việc đề nghị trao cho ông huy chương Fields (2006), nhưng ông đã từ chối nhận giải.