Đa thức và các tính chất liên quan đến nó luôn đóng vai trò quan trọng trong đại số và giải tích. Đặc biệt, sau khi định lý cơ bản của đại số (do Gauss chứng minh) khẳng định rằng mọi đa thức trên trường số phức (khác hằng số) luôn có ít nhất một nghiệm thực hoặc phức, thì bài toán khảo sát số nghiệm thực của đa thức với hệ số thực là vấn đề được quan tâm hàng đầu của nhiều thế hệ các nhà toán học. Những kết quả đầu tiên theo hướng này là của Descartes về quy tắc dấu (thường được gọi là quy tắc dấu Descartes) để xác định số nghiệm dương của một đa thức thực dựa vào sự phân bố dấu của dãy các hệ số của đa thức đã cho. Tiếp theo là các khảo sát khác nhau về số nghiệm của đa thức trong một khoảng cho trước và các công thức biểu diễn đa thức theo các tính chất của chúng. Nhờ công cụ giải tích, đặc biệt là định lý Lagrange và bổ đề Rolle, việc khảo sát số nghiệm thực của các đa thức đạo hàm (đạo hàm của một đa thức thực) được tiến hành dễ dàng hơn. Đó là, khi đa thức P(x)∈R[x] cóknghiệm thực thì đa thứcP 0 (x)sẽ có ít nhấtk−1nghiệm thực.