Vành số nguyên Z là một vành chính mà +1 và −1 là các phần tử khả nghịch duy nhất. Ta đã biết mọi số nguyên khác 0 và khác ±1 đều phân tích được một cách duy nhất thành một tích các phần tử bất khả quy trong Z . Một số nguyên dương bất khả quy được gọi là một số nguyên tố. Vì vậy mọi số tự nhiên lớn hơn 1 đều phân tích được một cách duy nhất thành tích các thừa số nguyên tố. Vấn đề số nguyên tố là một trong những vấn đề trọng tâm của lý thuyết số. Một câu hỏi đương nhiên được đặt ra là “có bao nhiêu số nguyên tố trong tập hợp số tự nhiên?”. Nếu chỉ có một số hữu hạn các số nguyên tố thì vấn đề số nguyên tố sẽ trở nên rất đơn giản, và các vấn đề khác trong số học cũng trở thành đơn giản. Song, ngay từ thời Euclid người ta đã biết rằng tập các số nguyên tố là vô hạn. Từ đó một loạt các câu hỏi được đặt ra. Bài toán về mật độ các số nguyên tố trong dãy số tự nhiên, bài toán tìm một biểu thức lấy giá trị là các số nguyên tố với mọi giá trị tự nhiên của biến, bài toán tìm số nguyên tố thứ n,. Một vấn đề lớn của lý thuyết số nguyên tố là nghiên cứu hàm π(x), biểu thị số các số nguyên tố không vượt quá x, với x là một số thực dương.