Nhiều bài toán từ các lĩnh vực khác nhau của khoa học, dẫn đến việc khảo sát sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm cho phương trình vi phân trong không gian Banach với điều kiện đầu (bài toán Cauchy). Có nhiều lớp phương trình vi phân được khảo sát, mỗi lớp phương trình lại có phương pháp nghiên cứu riêng. Bài toán Cauchy trong thang các không gian Banach có nhiều ứng dụng khi nghiên cứu các bài toán chứa kỳ dị. Ovsjannikov, Treves, Nirenberg, Nishida, Deimling và một số tác giả khác đã nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm cho bài toán Cauchy cấp một trong thang các không gian Banach và tìm ra nhiều ứng dụng khác cho Phương trình Vi phân, Vật lý và Cơ khí. Sau đó, Barkova và Zabreik đã tìm ra một kết quả tương tự cho bài toán Cauchy cấp hai thoả điều kiện Lipschitz.