Bậc tôpô của ánh xạ (hay cũng còn gọi là số quay của trường vectơ) được xây dựng từ những năm 1910 và ban đầu được ứng dụng trong Giải tích phức, trong Lý thuyết đường và mặt. Chỉ sau khi bậc tôpô tìm được ứng dụng trong chứng minh sự tồn tại điểm bất động thì nó mới được các nhà Toán học quan tâm nghiên cứu một cách tập trung và có hệ thống. Ngày nay, bậc tôpô là công cụ quan trọng bậc nhất trong nghiên cứu sự tồn tại nghiệm và cấu trúc tập nghiệm của nhiều lớp phương trình vi phân, tích phân xuất phát từ Khoa học Tự nhiên và Xã hội. Bậc tôpô ban đầu được xây dựng cho ánh xạ liên tục trong không gian hữu hạn chiều, sau đó được Leray-Schauder mở rộng cho ánh xạ hoàn toàn liên tục tác động từ một tập mở, bị chặn trong không gian Banach vô hạn chiều và ứng dụng để nghiên cứu các phương trình đạo hàm riêng. Tiếp theo, sự phát triển của khoa học và kĩ thuật đưa tới những lớp ánh xạ mới và nảy sinh nhu cầu xây dựng bậc tôpô cho các ánh xạ này. Trong luận văn này, tác giả tập trung nghiên cứu phương pháp xây dựng bậc tôpô, xét các tính chất chung và riêng của bậc tôpô cho các lớp ánh xạ: ánh xạ dương trong không gian Banach có thứ tự, cho ánh xạ A-riêng, cho ánh xạ cô đặc theo một độ đo phi compact, cho ánh xạ đa trị. Đồng thời vận dụng phương pháp bậc tôpô để nghiên cứu sự tồn tại điểm bất động của các lớp ánh xạ này