Nghiên cứu tôpô trên không gian các ánh xạ liên tục là một bài toán luôn được sự quan tâm của nhiều nhà toán học. Từ năm 1883, Ascoli, Arzelà và Hadamard đã bắt đầu các ý tưởng manh nha nghiên cứu tôpô trên không gian các ánh xạ liên tục từ không gian tôpô X vào không gian tôpô Y , kí hiệu C X Y ( , ) . Năm 1906, Fréchet nghiên cứu về tôpô mêtric supremum. Năm 1953, Tychonoff cho thấy rằng tích Tychonoff trên tập Y X không có gì mới cả đó chỉ là tôpô hội tụ đều. Năm 1945, tôpô mở compact được nghiên cứu trên không gian các ánh xạ liên tục bởi Fox. Không lâu sau đó, năm 1946 Arens tiếp tục nghiên cứu về tôpô mở compact này và Arens gọi tôpô đó là k -tôpô. Năm 1952, tôpô mở được tìm hiểu bởi Arens và Dugundji. Năm 1952, Jackson và năm 1968, Dugundji nghiên cứu tính compact của tôpô trong không gian C X Y ( , )