Các số p-adic đ-ợc Kurt Hensel mô tả đầu tiên năm 1897, hơn một trăm năm qua chúng dần thâm nhập vào các lĩnh vực khác nhau của toán học nh- lý thuyết số, hình học đại số, tôpô đại số, giải tích và cả vật lý, đặc biệt là vật lý l-ợng tử. Vào những năm 40 của thế kỉ XX, giải tích p-adic phát triển mạnh mẽ thành một chuyên ngành độc lập nhờ việc phát hiện những mối liên hệ sâu sắc của giải tích p-adic với những vấn đề lớn của số học và hình học đại số. Trong giải tích p-adic có nhiều t-ơng tự p-adic khác nhau của khái nhiệm tích phân, chẳng hạn nh- khái niệm t-ơng tự p-adic của tích phân Riemann, tích phân Stieltjes, tích phân Shnirelman (t-ơng tự p-adic của tích phân đ-ờng). Bên cạnh đó, tích phân Volkenborn là một tích phân khá đặc biệt, chỉ có trong giải tích p-adic và không là t-ơng tự p-adic của bất kì tích phân nào đã biết. Hơn thế nữa, tích phân Volkenborn có khá nhiều ứng dụng trong nghiên cứu lý thuyết số. Bởi lý do đó, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu “Tích phân Volkenborn”. Trong luận văn này, chúng tôi sẽ giới thiệu một cách đầy đủ và chi tiết cách xây dựng, các tính chất cơ bản của tích phân Volkenborn, đồng thời giới thiệu một số áp dụng lý thú của nó, qua đó sẽ làm rõ ý nghĩa và vai trò của tích phân Volkenborn trong giải tích p-adic và lý thuyết số. Cụ thể nh- sau Ch-ơng 1 Kiến thức cơ bản: trình bày một số kiến thức cơ bản về số p-adic, giải tích p-adic, khai triển Mahler của các hàm liên tục cần dùng cho các ch-ơng sau. Ch-ơng 2 Xây dựng tích phân Volkenborn: giới thiệu về khái niệm tổng bất định của hàm số liên tục, tính tổng bất định của một số hàm liên tục trên Zp th-ờng gặp sau đó xây dựng tích phân Volkenborn của hàm số liên tục trên Zp nh- là đạo hàm tại 0 của tổng bất định hàm số. Ch-ơng này cũng nghiên cứu một số tính chất cơ bản của tích phân Volkenborn, chủ yếu là của các hàm số khả vi liên tục trên Zp đồng thời tính toán tích phân Volkenborn cho một số lớp hàm cơ bản quan trọng trong giải tích p-adic. Cuối ch-ơng là giới thiệu về khái niệm tích phân trên các tập con của Zp. Ch-ơng 3 Xây dựng một số ứng dụng của tích phân Volkenborn: ch-ơng này sẽ ứng dụng tích phân Volkenborn để xây dựng và nghiên cứu một số tính chất quan trọng của các số Bernoulli – các số có vai trò quan 2