Vào năm 1936, Garnett Birkhoff đưa ra ý kiến cho rằng việc nghiên cứu tôpô là so sánh hai tôpô khác nhau trên cùng một tập. Trong công trình của mình: “G. Birkhoff, On the combination of topologies, Fund. Math. 26 (1936) 156-166”, Birkhoff mô tả rõ ràng sự so sánh này bằng cách sắp xếp họ tất cả các tôpô trên một tập hợp cho trước và nhìn vào kết quả được hình thành được gọi là dàn. Về bản chất, đây là sự so sánh hai tôpô, nghĩa là nếu  và  là hai tôpô trên cùng một tập hợp cho trước thì  thô hơn hoặc bằng với  nếu  là một tập con của  . Đối với hai tôpô bất kì  và   trên tập hợp, có một tôpô     (kí hiệu chính xác hơn là     ) gọi tôpô lớn nhất được chứa trong hai tôpô  và  , có một tôpô     gọi là tôpô bé nhất chứa cả hai tôpô  và . Dàn này có phần tử lớn nhất là tôpô rời rạc và phần tử nhỏ nhất là tôpô thô (tôpô chí có tập rỗng và chính tập hợp đang xét). Dàn của tất cả các tôpô trên một tập được gọi là dàn đầy đủ, tức là có một tôpô lớn nhất được chứa trong mỗi phần tử của một họ các tôpô và có một tôpô nhỏ nhất chứa mỗi phần tử của họ các tôpô